뇌터 환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 뇌터 가군
- 2.2. 뇌터 스킴
3. 성질
4. 예
- 4.1. 뇌터 벡터 공간
- 4.2. 뇌터 군환
5. 주요 정리
6. 역사
참조

1. 개요

뇌터 환은 환의 아이디얼이 오름 사슬 조건을 만족하는 환으로, 왼쪽 뇌터 환, 오른쪽 뇌터 환, 양쪽 뇌터 환으로 구분된다. 가환환의 경우 세 개념이 일치하며, 뇌터 가환환이라고 한다. 뇌터 환은 뇌터 가군, 뇌터 스킴과 연관되며, 힐베르트 기저 정리 등 다양한 정리를 만족한다. 에미 뇌터의 연구를 기념하여 명명되었으며, 환론에서 중요한 역할을 한다.

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환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.
환론 - 환 (수학)
환은 덧셈에 대해 아벨 군, 곱셈에 대해 모노이드를 이루며 분배 법칙이 성립하는 대수 구조로, 가환환과 비가환환으로 나뉘고 모든 비영 원소가 곱셈 역원을 갖는 비영 가환환을 체라고 한다.

뇌터 환
개요
종류	환
성질	가환 뇌터 환은 모든 아이디얼이 유한 생성 아이디얼인 가환환이다.
정의
정의	환 R의 아이디얼들이 부분 순서에 대해 사슬 조건을 만족시키면 R을 뇌터 환이라고 한다. 즉, R의 모든 아이디얼들의 오름 사슬 A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ ⋯ 에 대해, 어떤 자연수 n이 존재하여 An = An+1 = ⋯ 이 성립한다. 환 R의 모든 아이디얼이 유한 생성 아이디얼이면 R을 뇌터 환이라고 한다.
성질
힐베르트 기저 정리	R이 뇌터 환이면, R[x]도 뇌터 환이다. (R[x]는 R 계수 다항식환)
코헨 정리	가환환 R의 모든 소 아이디얼이 유한 생성 아이디얼이면 R은 뇌터 환이다.
크룰 교차 정리	뇌터 환 R의 아이디얼 I에 대해, ⋂nIn = 0 이다. (In은 I의 n제곱)
분해	뇌터 환의 모든 아이디얼은 기약 아이디얼들의 유한 교집합으로 나타낼 수 있다.
예
예시	모든 체는 뇌터 환이다. 모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이다. 특히, 정수환 ℤ는 뇌터 환이다. 뇌터 환 위의 유한 생성 가군은 뇌터 가군이다.
관련 개념
관련 개념	아르틴 환

2. 정의

환 $R$에 대하여 다음 조건들을 만족시키는 환을 왼쪽 뇌터 환(left Noetherian ring^영어)이라고 한다.

$R$의 모든 왼쪽 아이디얼 $I$는 유한 생성이다. 즉, $I=Ra_1 + \cdots + Ra_n$를 만족하는 $I$의 원소 $a_1, \ldots , a_n$이 존재한다.^[1]
포괄 관계에 의해 부분 순서가 주어진, $R$의 왼쪽 아이디얼의 비어 있지 않은 집합은 극대 원소를 갖는다.^[1]

마찬가지로 오른쪽 뇌터 환(right Noetherian ring^영어)을 정의할 수 있다. 왼쪽 뇌터 환이자 오른쪽 뇌터 환인 환을 (양쪽) 뇌터 환((two-sided) Noetherian ring^영어)이라고 한다.

가환환의 경우, 왼쪽 뇌터 환, 오른쪽 뇌터 환, 양쪽 뇌터 환의 개념이 모두 일치하므로, 이들을 그냥 뇌터 환이라고 부른다. 뇌터 가환환의 경우, 모든 소 아이디얼이 유한 생성이면 뇌터 환이 된다 (코언 정리 Cohen’s theorem^영어).^[22]

비가환환의 경우, 왼쪽 뇌터 환과 오른쪽 뇌터 환이 다를 수 있다.

2. 1. 뇌터 가군

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 왼쪽 가군을 '''왼쪽 뇌터 가군'''(left Noetherian module^영어)이라고 한다.^[20]

$M$ 은 왼쪽 가군 범주 $_R\operatorname{Mod}$ 속의 뇌터 대상이다. 즉, $M$ 의 부분 가군들의 격자 $\operatorname{Sub}(M)$ 가 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
$M$ 의 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다. 즉, 임의의 부분 가군 $N\subseteq M$ 에 대하여 $N=Rm_1+\cdots+Rm_k$ 인 $m_1,\dots,m_k\in M$ 이 존재한다.

'''오른쪽 뇌터 가군'''(right Noetherian module^영어) 역시 마찬가지 조건을 만족시키는 오른쪽 가군으로 정의할 수 있다.

가환환 위의 가군의 경우, 왼쪽·오른쪽 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

및 그 부분 가군

N\subseteq M

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[20]

$M$ 이 뇌터 가군이다.
$N$ 과 $M/N$ 둘 다 뇌터 가군이다.

(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

환

R

위의 왼쪽 가군

M

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[20]

$M$ 은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
$M$ 은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, $M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_k=M$ 이 존재하며, $M_i/M_{i-1}$ 은 모두 단순 가군이다.

특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

뇌터 환의 정의에서 좌 또는 우로부터의 곱을 가군에 대한 좌 또는 우 작용으로 바꾸어 생각하고, 환의 아이디얼을 환 위의 부분 가군으로 간주함으로써 뇌터 가군의 개념을 얻는다. 좌 뇌터 환은 자연스럽게 자신 위의 좌 가군으로 간주했을 때 뇌터 가군인 것과 같다.

2. 2. 뇌터 스킴

스킴

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 '''국소 뇌터 스킴'''(locally Noetherian scheme^영어)이라고 한다.

뇌터 가환환들의 스펙트럼들로 구성된 열린 덮개가 존재한다.^[24]
모든 아핀 열린집합은 뇌터 가환환의 스펙트럼이다.^[24]

스킴

X

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 '''뇌터 스킴'''(Noetherian scheme^영어)이라고 한다.

뇌터 가환환들의 스펙트럼으로 구성된 유한 열린 덮개가 존재한다.^[24]
국소 뇌터 스킴이며, (위상 공간으로서) 콤팩트 공간이다.

3. 성질

힐베르트 기저 정리에 따르면 ''R''이 뇌터 환이면 다항식환 $R[X]$ 도 뇌터 환이다. 수학적 귀납법에 의해, $R[X_1, \ldots, X_n]$ 또한 뇌터 환이다. 멱급수 환 역시 뇌터 환이다.^[4]
''R''이 뇌터 환이고 $I$ 가 양쪽 아이디얼이면, 몫환 $R/I$ 도 뇌터 환이다. 즉, 뇌터 환의 임의의 전사 환 준동형 사상의 상은 네터 환이다.^[4]
가환 네터 환 위의 모든 유한 생성 가환 대수는 네터 환이다.^[4]
환 ''R''이 왼쪽 네터 환일 필요충분조건은 모든 유한 생성 왼쪽 ''R''-가군이 네터 가군인 것이다.^[4]
가환 환이 자신 위의 충실한 네터 가군을 허용하면, 그 환은 네터 환이다.^[4]
(에이킨-나가타) 환 ''A''가 가환 네터 환 ''B''의 부분환이고, ''B''가 ''A'' 위에서 유한 생성 가군이면, ''A''는 네터 환이다.^[5]
환 ''A''가 가환 네터 환 ''B''의 부분환이고, ''B''가 ''A'' 위에서 충실 평탄이면, ''A''는 네터 환이다.^[4]
가환 네터 환의 모든 국소화는 네터 환이다.^[4]
아키즈키-홉킨스-레비츠키 정리에 따르면 모든 왼쪽 아르틴 환은 왼쪽 네터 환이다. 왼쪽 아르틴 환이 오른쪽 네터 환인 것은 오른쪽 아르틴 환일 때만 가능하다.^[4]
왼쪽 네터 환은 왼쪽 코히어런트이고, 왼쪽 네터 영역은 왼쪽 오어 영역이다.^[4]
(바스) 환이 (왼쪽/오른쪽) 네터 환인 것은 모든 직합 단사 (왼쪽/오른쪽) 가군이 단사인 경우와 그 역의 경우이다. 왼쪽 네터 가군 위의 모든 왼쪽 단사 가군은 기약 단사 가군의 직합으로 분해될 수 있다.^[6]
가환 네터 환에는 극소 소 아이디얼이 유한 개만 존재한다. 소 아이디얼에 대해 내림 사슬 조건이 성립한다.^[4]
가환 네터 영역 ''R''에서 모든 원소는 기약 원소로 분해될 수 있다. 분해가 단위에 의한 인자의 곱셈까지 동형으로 유일하다면, ''R''은 유일 인수 분해 영역이다.^[4]
뇌터 환의 잉여환은 뇌터 환이다. 뇌터 환의 준동형 사상은 뇌터 환이다.^[4]
뇌터 환의 부분환은 네터 환이 아닐 수 있다.^[4]
네터 환 상의 일변수 다항식 환은 네터 환이다. (힐베르트의 기저 정리)^[4]

3. 1. 뇌터 가군의 성질

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

및 그 부분 가군

N\subseteq M

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[20]

$M$ 이 뇌터 가군이다.
$N$ 과 $M/N$ 둘 다 뇌터 가군이다.

(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

환

R

위의 왼쪽 가군

M

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[20]

$M$ 은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
$M$ 은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, $M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_k=M$ 이 존재하며, $M_i/M_{i-1}$ 은 모두 단순 가군이다.

특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

3. 2. 뇌터 환의 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^[20]

왼쪽 뇌터 환 R에 대해, 다음 환들은 왼쪽 뇌터 환이다.

뇌터 가환환 R에 대해, 다음 가환환들은 뇌터 가환환이다.

뇌터 가환환의 경우, 크룰 높이 정리가 성립한다. 특히, 뇌터 가환환의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 내림 사슬 조건을 만족시킨다. (그러나 이는 비가환 왼쪽 뇌터 환에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)

3. 3. 뇌터 스킴의 성질

국소 뇌터 스킴의 줄기는 모두 뇌터 국소환이다.^[23] (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.) 국소 뇌터 스킴의 구조층은 (스스로 위의 가군층으로서) 연접층이다. 국소 뇌터 스킴은 항상 준분리 스킴이다. (즉, 국소 뇌터 스킴

X

에 대하여, 유일한 스킴 사상

X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z

는 준분리 사상이다.)

뇌터 스킴은 뇌터 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

X

가 국소 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 국소 뇌터 스킴이다.

$X$ 위의 국소 유한형 스킴 $Y\to X$
$X$ 의 닫힌 부분 스킴
$X$ 의 열린 부분 스킴

X

가 뇌터 스킴일 때, 다음 스킴들은 뇌터 스킴이다.

$X$ 위의 유한형 스킴 $Y\to X$ ^[23]
$X$ 의 닫힌 부분 스킴^[23]
$X$ 의 열린 부분 스킴^[23]

특히, 체 위의 대수다양체는 뇌터 스킴이다.

4. 예

데데킨트 정역은 모두 뇌터 환이다. 따라서 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, 체, 이산 값매김환은 모두 뇌터 가환환이다. 모든 정칙 국소환은 뇌터 환이다.^[1]

반면, 뇌터 환이 아닌 유일 인수 분해 정역이나 값매김환이 존재한다.

뇌터 환의 예는 다음과 같다.

유리수, 실수, 복소수를 포함한 모든 체는 뇌터 환이다. (체는 자신과 (0) 두 개의 아이디얼만을 갖는다.)^[1]
모든 주 아이디얼 환은 뇌터 환이다. (모든 아이디얼이 단일 원소로 생성된다.) 정수가 그 예시이며, 주 아이디얼 정역과 유클리드 정역을 포함한다.^[1]
데데킨트 정역 (예: 정수환)은 모든 아이디얼이 최대 두 개의 원소로 생성되는 뇌터 정역이다.^[1]
아핀 대수다양체의 좌표환은 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환이다.
정수 또는 체 위의 유한 개의 변수를 갖는 다항식환은 뇌터 환이다.

뇌터 환이 아닌 환의 예는 다음과 같다.

무한히 많은 변수 ''X''₁, ''X''₂, ''X''₃ 등을 갖는 다항식 환. 아이디얼 시퀀스 (''X''₁), (''X''₁, ''X''₂), (''X''₁, ''X''₂, ''X''₃) 등은 증가하며 종료되지 않는다.
모든 대수적 정수의 환은 뇌터 환이 아니다. 예를 들어, 무한히 증가하는 주 아이디얼 체인 (2), (2^1/2), (2^1/4), (2^1/8) 등을 포함한다.
실수에서 실수로 가는 모든 연속 함수의 환은 뇌터 환이 아니다. ''I_n''을 모든 ''x'' ≥ ''n''에 대해 ''f''(''x'') = 0인 모든 연속 함수 ''f''의 아이디얼이라고 하자. 아이디얼 시퀀스 ''I''₀, ''I''₁, ''I''₂ 등은 종료되지 않는 증가하는 체인이다.
구의 안정 호모토피 군의 환은 뇌터 환이 아니다.^[9]

4. 1. 뇌터 벡터 공간

체 K 위의 벡터 공간에 대해 다음 세 조건은 서로 동치이다.

뇌터 가군이다.
아르틴 가군이다.
유한 차원 벡터 공간이다.

4. 2. 뇌터 군환

임의의 군

G

와 환

R

에 대해 군환

R[G]

를 생각하자.

R

이 가환환이라면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$R[G]$ 는 왼쪽 뇌터 환이다.
$R[G]$ 는 오른쪽 뇌터 환이다.

이는 가환환 위의 군환의 경우, 왼쪽 아이디얼들과 오른쪽 아이디얼들이

R

-결합 대수 준동형

:

R[G]\to R[G]^{\operatorname{op}}

:

g\mapsto g^{-1}\qquad(\forall g\in G)

에 따라 일대일 대응하기 때문이다.

임의의 군

G

및 환

R

가 주어졌을 때, 만약

R[G]

가 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이라면,

R

는 왼쪽·오른쪽·양쪽 뇌터 환이며,

G

는 뇌터 군이다. 반대로, 만약

R

가 뇌터 가환환이며,

G

가 뇌터 가해군의 유한군에 의한 확대라면,

R[G]

는 양쪽 뇌터 환이다.

일반적인 뇌터 환과 뇌터 군 위의 군환은 뇌터 환이 아닐 수 있다. 다음 두 조건을 만족시키는 군

G

가 존재한다.^[25]

$G$ 는 뇌터 군이다.
임의의 뇌터 가환환 $R$ 에 대하여, $R[G]$ 는 양쪽 뇌터 환이 아니다.

5. 주요 정리

Hilbertscher Basissatz|힐베르트 기저 정리^de (Hilbert's basis theorem|힐베르트 기저 정리^영어)에 따르면, 뇌터 환 위의 일변수 다항식 환은 뇌터 환이다.^[17]

크룰 주 아이디얼 정리(Krull's principal ideal theorem)^[18]에 따르면, 뇌터 환에서 임의의 소 아이디얼의 높이는 유한하다.

골디 정리는 비가환 뇌터 환에 대한 중요한 정리이다.

6. 역사

에미 뇌터는 1921년 논문^[26]에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"으로 불리게 되었다.

참조

_[1] 문서 Lam (2001), p. 19
_[2] 문서 Eisenbud (1995), Exercise 1.1.
_[3] 저널 Commutative rings with restricted minimum condition https://projecteucli[...] 1950
_[4] 문서 Matsumura (1989), Theorem 3.5.
_[5] 문서 Matsumura (1989), Theorem 3.6.
_[6] 문서 Anderson, Fuller (1992), Proposition 18.13.
_[7] 문서 Bourbaki (1989), Ch III, §2, no. 10, Remarks at the end of the number
_[8] 문서 Hotta, Takeuchi, Tanisaki (2008), §D.1, Proposition 1.4.6
_[9] 웹사이트 The ring of stable homotopy groups of spheres is not noetherian https://math.stackex[...]
_[10] 문서 Formanek, Jategaonkar (1974), Theorem 3
_[11] 서적 Geometry of defining relations in groups Kluwer Academic Publishers 1991
_[12] 문서 Eisenbud (1995), Proposition 3.11.
_[13] 문서 Anderson, Fuller (1992), Theorem 25.6. (b)
_[14] 문서 Anderson, Fuller (1992), Theorem 25.8.
_[15] 문서 Anderson, Fuller (1992), Corollary 26.3.
_[16] 문서 Anderson, Fuller (1992), Lemma 25.4.
_[17] 저널 Commutative rings with restricted minimum condition https://projecteucli[...] 1950
_[18] 문서 クルルの標高定理(Krull's height theorem)とも
_[19] 서적 Algebra: rings, modules, and categories I
_[20] 서적 A first course in noncommutative rings
_[21] 서적 Lectures on modules and rings Springer
_[22] 저널 https://archive.org/[...]
_[23] 서적 http://www.math.u-bo[...] 2016-05-10
_[24] 서적
_[25] 서적
_[26] 저널 http://resolver.sub.[...] 2015-04-16

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